게임이론 - (4) 게임이론에서의 불확실성

이번 글에서는 경제학에서 얘기하는 불확실성이 무엇인지에 대해 간략히 언급하고 넘어가겠습니다.

1) 불확실성과 위험

문헌에 따라서 불확실성(uncertainty)과 위험(risk)을 구분하기도 합니다.

예컨대, 불확실성은 1) 임의성(randomness)이 존재하고 2) 확률분포가 알려지지 않은 경우를 지칭하는 식입니다.

반면 위험은 임의성은 존재하지만 정확한 확률분포가 알려진 경우입니다.

경제학에서는 (위의 정의에 입각한) 불확실성이 있는 상황은 좀처럼 다루지 않습니다.

왜냐하면 경제학에는 최적화(i.e. 목표함수를 최대화(최소화)) 문제가 많은데

불확실성이 존재한다면, 목표함수의 기댓값을 계산할 수가 없기 때문입니다.

목표가 무엇인지도 모르고 행동을 선택해야 한다니 그야말로 눈앞이 캄캄합니다.

그래서 경제학에서는 보통 불확실성과 위험을 구분하지 않고, 이들은 임의성이 있더라도 확률분포가 알려진 상황을 지칭하는 것으로 합니다.

2) 소비자이론에서의 불확실성

미시경제학의 소비자 선택이론에서도 불확실성은 중요합니다.

폰 노이만-모겐스턴 정리에 의해서 소비자는 기대효용(expected utility)을 극대화하는 선택을 한다는 것이 알려져 있습니다.

그런데 세 가지 조건이 충족되면 소비자는 불확실성을 완전히 제거할 수 있었습니다.

그 조건은 1) 소비자가 위험기피적이고(소득의 한계효용이 체감하고), 2) 완전경쟁적인 조건부 상품시장이 완비되어 있어야 하고 3) 조건부 상품 거래에 거래비용은 존재하지 않아야 한다는 것입니다.

이 세 조건이 성립하면 소비자는 무위험선에서 선택을 하게 됩니다.

여기서 각 조건을 좀더 자세히 설명해보겠습니다.

a. 소비자의 위험기피성(소득의 한계효용체감)

여기서 소비자가 위험기피적이어야 하는 이유를 직관적으로 설명해보겠습니다.

사실 한계효용체감과 한계대체율체감은 독립적인 조건입니다. 한계효용이 체증해도 한계대체율체감이 성립할 수 있습니다.

그 이유는 다음과 같습니다. 한계대체율체감은 효용함수의 강준오목성(strictly quasi-concave)과 완전히 동일한 조건입니다.

그런데 강준오목함수는 어떠한 강단조변환을 거쳐도 다시 강준오목함수가 됩니다.

따라서 적절한 강단조변환을 통해 한계효용이 체증하게 만드는 것도 가능합니다.

요컨대, 한계효용이 체증해도 한계대체율이 체감할 수도 있다는 것입니다.

그런데 두 재화가 독립재여서 $U_{xy} = 0 $가 성립할 경우에는, 한계효용체감이 곧바로 한계대체율체감으로 이어집니다.

그리고 폰 노이만-모겐스턴 효용함수의 형태를 보겠습니다.

$ EU = \sum_{i=1}^{n} p_i U(x_i) $ 여기서  $ x_i $는 각각의 조건부상품을 의미합니다.

따라서 폰 노이만-모겐스턴 효용함수 하에서 각 조건부상품은 독립재라는 것을 알 수 있습니다.

그러므로 각 조건부상품에 대해서 한계효용이 체감하면 한계대체율체감이 성립합니다. 그래서 효용극대화점이 내부에 있게 됩니다.

b. 조건부 상품시장에 대한 조건

조건부 상품을 거래할 수 있는 시장이 있어야 한다는 것은 자명합니다.

그뿐만이 아니라 이 시장은 효율적이어야 하고, 거래비용이 존재하지 않아야 합니다.

소비자이론에서는 보험료율이 공정하지 않은 이유로 보험회사의 운영에 들어가는 비용이 있다는 점을 듭니다.

사실 여기서 보험회사의 운영 비용이라는 것은 다름 아닌 조건부 상품의 거래비용인 것입니다.

소비자이론의 결론은, 불확실성 하에서도 (특정 조건이 성립하면) 소비자는 불확실성이 없는 것처럼 행동할 수 있다는 것입니다.

3) 게임이론에서의 불확실성

앞선 글들에서 불확실성이 없을 경우, 전개형 게임과 전략형 게임 사이에는 모종의 대응관계가 존재한다는 것을 보였습니다.

쿤의 정리는, 불확실성이 있더라도 전개형 게임과 전략형 게임이 여전히 동일한 게임이라는 점을 시사합니다.

다만 불확실성이 있다면 게임의 기본 가정들이 약간 바뀌게 됩니다.

게임의 기본 가정들은 아래와 같았습니다.

A. 게임의 구조가 모든 경기자 간의 공통지식

B. 합리성

C. (내쉬균형) 합리적 기대

게임의 기본 가정 중 하나인 B. 합리성의 의미는 각 경기자의 보수를 극대화한다는 것이었습니다.

불확실성이 있는 게임에서는 각 경기자가 각자의 기대보수를 극대화하는 것으로 하겠습니다.

또한 게임에 찬스노드가 포함되는 식으로 불확실성이 가미될 수 있습니다.

이 경우 찬스노드의 확률분포 역시 게임의 구조의 일부로서, 모든 경기자 간 공통지식으로 간주하겠습니다.

다음 글에서는 혼합전략과 행동전략의 개념을 다루어보겠습니다.