수리통계학 (1) - 확률의 말뜻

우리가 어떤 대상의 구조를 설명할 수 있는 방법 가운데 하나는 집합을 활용하는 것입니다.

쉬운 예로 3차원의 구 모양의 물체를 수학에서는 어떻게 표현하는가를 생각해보겠습니다.

구 모양의 물체도 아래와 같이 다양한 구조를 가지고 있을 수 있습니다.

a. 속이 가득 채워져 있고 껍질도 존재하는 구
b. 속은 비어있지만 껍질만 있는 구
c. 속은 채워져 있지만 껍질은 없는 구

이 세 가지 다른 모양의 구는 제각기 서로 다른 집합에 대응시킬 수 있습니다. 가령 아래와 같이 말입니다.

$$ a. \left \{(x,y,z)\in R^{3}| x^2+y^2+z^2\leq r^2 \right \} $$ $$ b. \left \{(x,y,z)\in R^{3}| x^2+y^2+z^2= r^2 \right \} $$ $$ c.\left \{(x,y,z)\in R^{3}| x^2+y^2+z^2< r^2 \right \} $$

이처럼 집합이 어떤 대상의 구조를 설명하는 데 요긴하게 쓰이는 것을 볼 수 있습니다.

집합은 어떤 사건의 확률을 표현할 때도 쓰입니다.

가령 여러 결과가 나타날 수 있는 실험을 묘사하는 데 집합이 쓰일 수 있습니다.

실험의 결과 나타나는 사건들을 근원사건이라고 부르고, 이 근원사건들을 모은 집합은 표본공간(sample space)이라고 합니다.

그러나 실험의 종류에 따라서는 여러 사건이 동시에 일어날 수 있습니다.

따라서 이 표본공간의 임의의 부분집합을 사건이라고 정의합니다.

표본공간의 부분집합을 전부 다 모은 것은 멱집합이 됩니다.

하지만 우리는 이 멱집합을 고려하는 대신, 관심의 대상이 되는 사건만을 모은 집합을 고려하려고 합니다.

이때, 이 집합을 $ \wp $로 쓰고 특정한 조건을 만족하는 것으로 약속합니다.

1. $ \wp \neq \varnothing $
2. $ A \in \wp , B \in \wp \rightarrow A\cup B \in \wp $
3. $ A \in \wp \rightarrow A^{c}\in \wp $

달리 말하면, 이 집합 $ \wp $는 공집합이 아니면서 가산번의 합집합과 여집합에 대해서 닫혀 있다는 의미입니다.

따라서 드 모르간의 정리에 의해 이 집합은 가산번의 교집합에 대해서도 닫혀있게 됩니다.

이런 구조를 가지는 집합을 $ \sigma-field $라고 합니다.

 

확률은 임의의 $ \sigma-field $의 원소에 대해서 어떤 실수 값을 대응시키는 함수입니다.

다시 말해, 어떤 표본공간 S 위에 정의된 $ \wp $에 대해서 확률 P는 $ \wp $를 실수로 보내는 함수로 볼 수 있습니다.

그리고 아래와 같은 조건을 충족합니다.

1. $ P(C)\geq 0$  for all $C \in \wp $
2. $ P(S)=1 $
3. $ \left \{ C_n \right \}_{n=1}^{\infty}$이 $ \wp $의 분할(partition)이면, $ P(\bigcup_{n=1}^{\infty }C_n)=\sum_{n=1}^{\infty}P(C_n) $

확률은 기본적으로 상대빈도(relative frequency)가 지니는 여러 성질을 그대로 지닙니다.

다음 글에서는 확률함수가 만족하는 여러 성질들에 대해 적어보겠습니다.