수리통계학 (28) - 포아송 분포의 성질

지난 글에서는 포아송 과정 및 분포에 대해 써보았습니다.

이번 글에서는 포아송 분포의 성질에 대해 써보겠습니다.

 

우선 지난 글에서 유도한 포아송 분포의 확률질량함수는 아래와 같습니다.

$p_X (x) = m^x e^{-m}/x!$

한편, 포아송 과정을 따르는 사건이 주어졌을 때

일정 시간구간에서 이 사건이 발생하는 횟수는 포아송 분포를 따른다는 것을 설명했습니다.

따라서 $x<0$ 이면 $p_X(x)=0$ 임을 알 수 있습니다.

이러한 점을 고려하면, 포아송 분포의 확률질량함수를 아래와 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$p_X(x)=\begin{cases} m^x e^{-m}/x! & \text{ if } x=0,1,2,... \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}$

 

포아송 분포를 따르는 확률변수의 평균 및 분산을 알아내려면

이의 적률생성함수를 활용하는 것이 편리합니다.

포아송 확률변수의 적률생성함수를 계산해보면 아래와 같습니다.

$M(t)=E[e^{tX}]=\sum_{x=0}^{\infty}[e^{tx}m^x e^{-m}/x!] =\sum_{x=0}^{\infty}[(me^t)^x e^{-m}/x!]$

위 식의 양변을 $t$ 에 대해 미분하면 아래 식이 성립함을 알 수 있습니다.

$M'(t)=\sum_{x=0}^{\infty}[xm^x e^{tx}  e^{-m}/x!]=\sum_{x=1}^{\infty}[(me^t)^x e^{-m}/(x-1)!]=me^t \sum_{x=0}^{\infty}[(me^t)^x e^{-m}/x!] =me^t M(t)$

따라서 $M'(t) = me^t M(t)$ 로 주어진 미분방정식을 풀면 $M(t)=cexp(me^t)$ 의 식을 얻습니다.

한편 $M(0)=\sum_{x=0}^{\infty}[m^x e^{-m}/x!]=\sum_{x=0}^{\infty}p_X (x)=1$ 의 식을 활용하면 상수 $c$ 의 값을 구할 수 있습니다.

실제로 $t$ 에 0을 대입하면 $M(0)=ce^m=1$ 이 성립하므로 $c = e^{-m}$ 임을 알 수 있습니다.

결론적으로 $M(t)=exp(m(e^t-1))$ 의 적률생성함수를 얻게 됩니다.

 

위에서 얻은 적률생성함수를 활용해서 포아송 확률변수의 1, 2차 적률을 구해보면 아래와 같습니다.

$E[X]=M'(0)=me^t exp(m(e^t-1))|_{t=0}=m$
$E[X^2]=M''(0)=me^texp(m(e^t-1))(1+me^t)|_{t=0}=m(1+m)=m+m^2$

따라서 이의 분산은 $Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2=m$ 으로 주어집니다.

 

한편, 이항분포에 대한 글에서 독립인 이항확률변수 여러 개를 합한 결과는

여전히 이항분포를 따른다는 것을 보였습니다.

포아송 분포를 따르는 확률변수들을 합해도 비슷한 결과가 성립합니다.

우선 독립인 확률변수 $X_1,X_2,...,X_n$ 이 주어지고

모든 $i=1,2,...,n$ 에 대해서 $X_i$ 는 평균이 $m_i$ 인 포아송 분포를 따른다고 해보겠습니다.

그러면 이 확률변수들을 모두 합한 $\sum_{k=1}^{n}X_k$ 는 평균이 $\sum_{k=1}^{n}m_k$ 인 포아송 분포를 따릅니다.

이의 증명은 적률생성함수의 성질을 활용하면 쉽게 할 수 있습니다.

우선 $Y:= \sum_{k=1}^{n}X_k$ 라는 새로운 확률변수에 대한 적률생성함수는

$X_i$ 들의 개별적인 적률생성함수들을 모두 곱한 것과 같습니다.

따라서 $M_Y(t)=\prod_{k=1}^{n}M_{X_k}(t)=\prod_{k=1}^{n}exp(m_k(e^t -1))=exp((\sum_{k=1}^{n}m_k)(e^t -1))$ 의 식이 성립합니다.

바로 위 식의 우변은 $\sum_{k=1}^{n}m_k$ 의 평균을 갖는 포아송 분포의 적률생성함수입니다.

이를 통해 $Y$ 가 상기한 평균을 갖는 포아송 확률분포를 따른다는 것을 알 수 있습니다.

 

이번 글에서는 포아송 분포의 성질에 대해 써보았습니다.

다음 글에서는 자주 쓰이는 연속확률분포에 대해 써보겠습니다.