2. 동태적 최적화 (1)

이번 글에서는 거시경제학에서 많이 쓰이는 동태적 최적화 기법에 대해서 써보겠습니다.

왜냐하면 무한기간모형이나 중복세대모형에서는 동태적 최적화기법이 많이 쓰이기 때문입니다.

거시경제학에서 주로 쓰이는 최적화의 방법들은 아래와 같습니다.

a. 라그랑지 승수법(Lagrange Multiplier method)
b. 해밀토니안 기법(Hamiltonian method)
c. 벨만 방정식(Bellman equation)

이 글과 다음 글에서 이 세 가지 기법을 간략히 소개하겠습니다.

1. 라그랑지 승수법

미적분학에서도 다루는 라그랑지 승수법은 제약조건 하의 최적화를 수행하기 위한 방법입니다.

가령 목적함수 $ f(x) $ 를 제약조건 $ g(x) = 0 $ 하에서 극대화(극소화) 한다고 해보겠습니다.

이 문제를 푸는 한 가지 방법은 제약조건 식을 목적함수에 대입하여 보통의 극대극소 문제를 푸는 것입니다.

그러나 이 경우, 제약조건이 음함수 꼴로 되어있다거나 하면 계산이 상당히 번거로워집니다.

그래서 이 문제를 쉽게 풀기 위해서 $ \Lambda = f(x) +\lambda g(x) $ 라고 하는 식을

대신 극대화(극소화)하는 것이 라그랑지 승수법의 아이디어입니다.

위 식에서 독립변수에 대한 1계 조건과 제약조건을 연립하여, 제약조건하 최적화 문제를 풀 수 있습니다.

물론 극대극소 여부를 확인하기 위해서 2계 조건은 반드시 확인해야 합니다.

 

2. 해밀토니안 기법

해밀토니안 기법은 위의 라그랑지 승수법과는 다른 점이 있습니다.

라그랑지 승수법은 극대극소점을 찾는 방법입니다.

반면, 해밀토니안 기법은 최적화된 함수를 찾는 방법입니다.

구체적으로 해밀토니안 기법은 변분법이라고 하는 적절한 함수를 찾아내는 방법의 일종입니다.

해밀토니안 식을 유도할 때 라그랑지안이 쓰이지만, 어찌 되었건 이 둘은 다릅니다.

물리학에서도 해밀토니안 기법이 쓰이는데, 경제학에서 쓰이는 것과 기본 원리는 똑같습니다.

해밀토니안에서는 제어변수, 상태변수라는 개념이 등장합니다.

예를 위해서 아래와 같은 최적화 문제를 고려하겠습니다.

$ \underset{c(t)}{max} \int_{0}^{T}v(k(t),c(t),t)dt $
s.t. $ \dot{k(t)}=g(k(t),c(t),t) $  $  t\in [0,T] $ ,  $ k(T)e^{-R(T)T}\geq 0 $

위 최적화 문제에서는 $ c(t) $ 의 최적 경로를 구하고 있습니다. 이 변수를 제어변수라고 합니다.

그리고 $ k(t) $ 의 경로가 특정한 식을 만족하도록 해야 합니다. 이 변수는 상태변수라고 합니다.

그리고 이들 경로를 적절하게 선택해서 $ v(k(t),c(t),t) $ 의 적분값이 극대화되도록 하는 것이 목표입니다.

 

해밀토니안은 $ H(t) = v(k(t),c(t),t)+ \mu (t) g(k(t),c(t),t) $ 와 같이 정의됩니다.

결론부터 얘기하면 최적경로는 아래와 같은 식을 만족합니다.

$ \partial H(t) / \partial c(t) =0 $
$ \partial H(t) / \partial k(t) =-\dot{\mu (t)} $

이들 식과 원래 문제의 제약조건을 같이 연립해서 풀면 최적경로함수 $ c(t) $ 를 얻게 됩니다.

여담이지만 위의 최적화 문제에서는 비폰지게임 조건 $ k(T)e^{-R(T)T}\geq 0 $ 를 같이 고려하도록 하고 있습니다.

비폰지게임 조건은 부채 크기의 증가속도가 이자율의 증가속도보다 빠르지 않다는 조건입니다.

장기적으로 부채가 무한대가 되지 않아야 한다는 조건으로, 많은 동태적 최적화 문제에서 등장합니다.

다음 글에서는 벨만 방정식에 대해서 다뤄보도록 하겠습니다.