3. 무한기간모형 (1)

이번 글에서는 무한기간모형 가운데 하나인 Ramsey-Cass-Koopmans 모형에 대해 써보겠습니다.

Ramsey-Cass-Koopmans 모형(이하 Ramsey 모형)은 시장의 불완전성, 경제주체 간 이질성이나 세대교체 등을 전혀 고려하지 않습니다.

현실의 복잡한 측면들을 일일이 고려하지 않은 덕분에, 개념적으로는 매우 간단한 모형이 되었습니다.

Ramsey 모형은 아래와 같은 가정에서 출발합니다.

1. 솔로우 모형에서와 동일한 생산함수(규모수익불변, 노동에 체화된 기술진보 등)
2. 저축률을 선택할 수 있으며 생애효용을 극대화하는 소비자
3. 외생적이고 일정하게 주어지는 인구성장률과 기술진보율, 감가상각률
4. 완전경쟁적인 생산물시장 및 요소시장

요컨대 Ramsey 모형은 저축률이 내생화되었고, 동태적 최적화를 고려한다는 점에서 솔로우 모형과 차별화됩니다.

다만 생산기술이나 자본동학식 등은 솔로우 모형의 것을 그대로 쓰고 있습니다.

소비자는 다음과 같은 효용극대화 문제에 직면합니다.

$ \underset{C(t)}{max}\int_{t=0}^{\infty}e^{-\rho t}u(C(t)) L(t)dt $

또한 경제가 균형성장경로로 수렴하도록 하기 위해서 CRRA 효용함수를 가정합니다.

$ u(C(t))=\frac{C(t)^{1-\theta}}{1-\theta} $

인구와 기술수준은 솔로우 모형에서와 똑같이 주어집니다.

$ \dot{L(t)}=nL(t) $

$ \dot{A(t)}=gA(t) $

 

이 문제는 앞선 글에서 언급한 해밀토니안 기법을 활용해서 풀 수 있습니다.

이를 위해서 목적함수를 다시 써보겠습니다.

$ v(k(t),c(t),t)=e^{-\rho t}c(t)^{1-\theta}e^{(1-\theta)gt}e^{nt}=c(t)^{1-\theta}e^{(n+(1-\theta)g-\rho)t} $

여기서 $ c(t) $ 는 소비 $ C(t) $ 를 기술수준 $ A(t) $ 으로 나눈 값입니다.

목적함수에 곱해지는 상수항들은 최적화 문제의 해와 무관하므로 생략했습니다.

 

자본은 유효노동 1단위로 표기한 자본량인 $ k(t)=K(t)/[A(t)L(t)] $ 으로 표기합니다.

따라서 자본동학은 $ \dot{k(t)}/k(t)=\dot{K(t)}/K(t)-n-g=[Y(t)-C(t)L(t)]/K(t)-n-g-\delta $ 으로 주어집니다.

이 식을 다시 정리해서 아래 식을 얻습니다.

$ \dot{k(t)}=[Y(t)-C(t)L(t)]\frac{k(t)}{K(t)}-(n+g+\delta)k(t)=k(t)^\alpha-c(t)-(n+g+\delta)k(t)=g(k(t),c(t),t) $

 

최적화 문제에서의 해밀토니안은 $ H(t)=v(k(t),c(t),t)+ \mu (t)g(k(t),c(t),t) $ 로 주어집니다.

따라서 $ H(t) = c(t)^{1-\theta}e^{(n+(1-\theta)g-\rho)t} + \mu (t) [k(t)^\alpha-c(t)-(n+g+\delta)k(t)] $ 를 얻게 됩니다.

이제 해밀토니안의 1계 조건을 차례로 적용해보겠습니다.

$ \partial H(t) / \partial c(t)=(1-\theta)c(t)^{-\theta}e^{-\phi t}-\mu(t)=0 $
(편의상 $ \phi := \rho-n-(1-\theta)g $ 으로 식을 단순화시켰습니다.)

위 식에서 $ c(t) $ 에 관한 식을 좌변에, $ \mu (t) $ 에 관한 식을 우변에 놓고 양변을 로그미분해보면

$ -\theta \frac{\dot{c(t)}}{c(t)}-\phi = \frac{\dot{\mu(t)}}{\mu(t)} $ 을 얻게 됩니다.

그리고 다른 1계 조건으로부터 $ \partial H(t) /\partial k(t)=\mu(t)[\alpha k(t)^{\alpha-1}-(n+g+\delta)]=-\dot{\mu(t)} $ 를 얻습니다.

상기한 식들을 연립해서 $ \alpha k(t)^{\alpha-1}-(n+g+\delta)=\theta \frac{\dot{c(t)}}{c(t)}+\phi  $ 임을 알 수 있습니다.

이 식을 정리하면 $ [\alpha k(t)^{\alpha-1}-\rho-\theta g - \delta]/\theta=\frac{\dot{c(t)}}{c(t)} $ 의 소비 결정식을 얻게 됩니다.

앞서 요소시장이 완전경쟁적이라고 가정했으므로, 자본의 실질수익률이 실질이자율과 같아져야 합니다.

따라서 $ \alpha k(t)^{\alpha-1} -\delta= r(t) $ 의 관계가 성립함을 알 수 있습니다.

최종적으로 소비의 기간 간 대체에 관한 $ \frac{\dot{c(t)}}{c(t)} = [r(t)-\rho-\theta g]/\theta $ 식을 얻습니다.
(또는 $ \frac{\dot{C(t)}}{C(t)}=[r(t)-\rho]/\theta $ 로 쓰기도 합니다.)

이 식을 오일러 방정식(Euler equation)이라고 부릅니다.

오일러 방정식은 현재기의 소비를 통해 얻는 한계효용과, 투자를 통해 미래에 얻을 수 있는 한계효용이 같아지도록 하는 조건을 나타냅니다.

이번 글에서는 Ramsey 모형에서의 오일러 방정식을 유도해보았습니다.

다음 글에서는 이 모형의 균형성장경로에 대해서 써보겠습니다.