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수학

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수리통계학 (40) - 모분산의 추정량 지난 글에서는 통계적 추정에 관한 기본 개념들에 대해 써보았습니다. 이번 글에서는 모분산을 추정하는데 쓰일 수 있는 변수들에 대해 써보겠습니다. 지난 글에서 임의표본 $ \left\{ X_1,X_2,...,X_n \right\} $ 의 표본분산을 아래와 같이 정의했습니다. $ S^2 = \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 /(n-1) $ 위의 표본분산은 모분산의 추정량으로서 불편성과 일치성을 모두 만족합니다. 이번 글에서는 표본분산이 일치추정량임을 보이도록 하겠습니다. 한편, 표본분산의 일치성을 증명하려면 확률수렴에 관한 아래의 성질들을 활용하면 편리합니다. 1. $ a,b $ 가 상수이면 $ X_n \overset{p}{\rightarrow} X $ , $ Y_n \overset{p}{..
수리통계학 (39) - 통계적 추정의 기본 개념들 지난 글에서는 중심극한정리에 대해 써보았습니다. 이번 글에서는 통계적 추정에서 등장하는 기본적인 개념들에 대해 써보겠습니다. 우선 $ X_1,X_2,...,X_n $ 의 확률변수들이 모두 $ f(x;\theta) $ 의 확률밀도함수를 갖는 확률분포를 따른다고 가정하겠습니다. 이때 이들 확률변수들의 실현값에 따라 값이 결정되는 어떤 확률변수 $ T $ 를 생각해보겠습니다. $ T=T(X_1,X_2,...,X_n) $ 이제 위에서 정의된 $ T $ 가 모종의 이유로 $ \theta $ 와 비슷한 값을 가질 것으로 예상된다고 해보겠습니다. 이렇게 표본의 함수로 주어지면서, $ \theta $ 의 값을 짐작하는 데 활용할 수 있는 확률변수 $ T $ 를 $ \theta $ 의 추정량이라고 부릅니다. 이제 상기한..
수리통계학 (38) - 중심극한정리 지난 글에서는 확률변수의 수렴에 대해 써보았습니다. 이번 글에서는 중심극한정리에 대해 써보겠습니다. 우선 중심극한정리를 설명하기 위해 필요한 기본적인 개념들을 간략히 언급하고 넘어가겠습니다. 서로 독립인 확률변수 $ X_1,X_2,...,X_n $ 이 모두 똑같은 확률분포를 따른다고 해보겠습니다. 이를 두고 확률변수 $ X_1,X_2,...,X_n $ 은 iid(independent and identically distributed)한 확률변수라고 합니다. 또한 위와 같은 확률변수들을 모아놓은 집합 $ \left\{ X_1,X_2,...,X_n \right\} $ 을 임의표본(random sample)이라고 부르기도 합니다. 한편, 지난 글에서 언급한 분포수렴에 관련된 성질 한 가지를 더 언급하고 중심극..
수리통계학 (37) - 통계적 추정 지난 글에서는 Student's theorem에 대해 써보았습니다. 이번 글에서는 통계적 추정에 관해 써보려고 합니다. 통계적 추정은 주어진 자료로부터 미지의 무언가를 알아내는 과정입니다. 예컨대, 어떤 변수가 특정한 확률분포를 따른다는 것이 알려졌다고 해보겠습니다. 그리고 이 확률분포는 $ \theta $ 라는 모수에 따라 유일하게 결정됩니다. 그러면 주어진 자료들로부터 이 모수 $ \theta $ 의 값을 알아내려고 시도해 볼 수 있습니다. 혹은 모수의 정확한 값은 알아내지 못하더라도, 이 모수가 어떤 구간에 놓여있을지 생각해 볼 수 있습니다. 제가 지금까지 써온 글들에서는 여러 확률분포의 특성과 성질을 묘사하는 데 주안점을 두었습니다. 하지만, 통계학의 많은 부분은 위에서 언급한 미지의 모수값(혹은..
수리통계학 (36) - Student's theorem 지난 글에서는 t-분포와 F-분포에 대해 써보았습니다. 이번 글에서는 Student's theorem에 대해 써보겠습니다. 글을 시작하기에 앞서 카이제곱분포의 성질 두 가지를 언급하고 넘어가겠습니다. 1. $ Z \sim N(0,1) $ 이면 $ Z^2 \sim \chi^2(1) $ 입니다. 달리 말하면, 표준정규확률변수를 제곱한 변수는 자유도가 1인 카이제곱분포를 따르게 됩니다. 우선 표준정규확률변수 $ Z $ 에 대해서 $ P(Z