3. 무한기간모형 (2)

지난 글에서는 Ramsey 모형의 오일러 방정식을 유도해보았습니다.

오일러 방정식은 자본량이 주어졌을 때, 소비수준을 어떻게 선택할 것인지에 대한 규칙입니다.

실제로 소비자가 선택하는 소비경로는 자본동학식, 오일러 방정식을 같이 고려해서 구합니다.

지난 글에서 자본동학식은 $ \dot{k(t)}=k(t)^\alpha - c(t) - (n+g+\delta)k(t) $ 으로 주어졌습니다.

오일러 방정식은 $ \frac{\dot{c(t)}}{c(t)}=[\alpha k(t)^{\alpha-1}-\rho-\theta g]/\theta $ 으로 구했습니다.

여기서 $ \alpha k(t)^{\alpha-1} = \rho+\theta g $ 을 만족하는 자본수준은 유일합니다.

이 자본수준은 $  k(t) = [\frac{\alpha}{\rho+\theta g}]^{\frac{1}{1-\alpha}} $ 으로 주어집니다.

이 자본수준 하에서는 유효노동 1단위당 소비가 불변하게 됩니다. 이 값을 $ k^* $ 로 쓰겠습니다.

 

이번에는 자본수준을 일정하게 유지시키는 소비수준을 구해보겠습니다.

자본동학식에서 $ k(t)^\alpha=c(t)+(n+g+\delta)k(t) $ 이 충족되면 자본수준이 불변한다는 것을 알 수 있습니다.

소비를 불변하게 하는 자본수준 $ k^* $ 를 위 식에 대입하면 아래 식을 얻습니다.

$ c(t)=k^{*\alpha}-(n+g+\delta)k^*=[\frac{\alpha}{\rho+\theta g}]^{\frac{\alpha}{1-\alpha}}-(n+g+\delta)[\frac{\alpha}{\rho+\theta g}]^{\frac{1}{1-\alpha}} $

자본수준을 불변하게 만드는 위의 소비수준을 $ c^* $ 로 쓰겠습니다.

결론적으로 소비수준과 자본수준이 각각 $ (k^* , c^*) $ 로 주어질 때, 이 경제가 균제상태를 달성하게 됩니다.

또한 자본동학식에서 자본수준을 일정하게 만드는 소비수준은 유일하기 때문에, Ramsey 모형에서는 $ (k^* , c^*) $ 가 유일한 균제상태라는 것도 알 수 있습니다.

 

그러면 (균제상태에 있지 않은) 경제가 균제상태로 어떻게 이행하는가 하는 질문을 할 수 있습니다.

만약 소비, 자본수준이 주어져있다면 이들 변수를 오일러 방정식과 자본동학식에 대입해서 이들의 변화 양상을 알 수 있습니다.

이 문제는 위상도(phase diagram)를 그려보면 보다 쉽게 해결할 수 있습니다.

위상도는 $ (k,c) $ 평면에서 동태적 최적화의 결과로 얻어진 이들 변수들의 궤적을 보여줍니다.

흥미로운 점은 위상도에서 그린 어떤 두 궤적도 서로 겹치지 않는다는 점입니다.

 

만약 서로 다른 궤적이 겹친다면, 이들이 겹치는 교점에서 동태적 최적화 문제의 해가 두 개 이상이라는 것을 의미합니다.

그러나 앞선 글에서 유도한 Ramsey 모형의 오일러 방정식은 해가 유일하므로 이것은 불가능한 일입니다.

따라서 동태적 최적화의 결과로 얻어진 어떤 경로도 위상도 상에서 겹치지 않습니다.

이를 통해 경제의 균제상태 $ (k^* , c^*) $ 를 지나는 경로가 유일하다는 것을 알 수 있습니다.

이 경로를 안장경로(saddle path)라고 합니다.

Ramsey 모형에서는 초기 자본수준이 주어지면, 소비자는 해당 자본수준에 상응하는 안장경로 상의 소비수준을 영위합니다.

그리고 경제는 안장경로를 따라서 균제상태로 점차 이동해갑니다.

 

Ramsey 모형에서도 경제주체의 후생을 평가해볼 수 있습니다.

우선 Ramsey 모형은 후생경제학 제1정리(first welfare theorem)의 조건을 모두 충족하고 있습니다.

따라서 소비자의 효용극대화해가 곧 파레토효율해가 됩니다.

실제로 이 모형은 저축률이 내생화되어 있고 소비자가 동태적 최적화를 행합니다.

따라서 모든 기에서의 소비를 증대시키는 파레토 개선이 가능하다면, 원래 소비경로가 동태적으로 최적이 아니라는 것을 의미합니다.

이외에도 Ramsey 모형에서는 균제상태로 이행해가는 속도, 정부부문을 도입했을 때의 효과 등 흥미로운 시사점들이 많습니다.

이런 논의들은 다른 글에서 기회가 된다면 다루어 보도록 하겠습니다.

대신 다음 글에서는 Diamond 모형으로 대표되는 중복세대모형에 대해서 써보겠습니다.