4. 중복세대모형 (2)

지난 글에서는 Diamond 모형의 효용극대화 해를 유도해보았습니다.

이번 글에서는 이 모형의 다른 시사점들에 대해서 써보겠습니다.

 

지난 글에서 Diamond 모형의 총자본스톡이 이전 세대의 총저축과 같아짐을 보였습니다.

다시 말해, $ t+1 $ 기 총자본스톡 $ K_{t+1} $ 은 아래식을 만족합니다.

$ K_{t+1}=s(r_{t+1})L_t A_t w_t $

위 식의 양변을 $ A_{t+1}L_{t+1} $ 로 나누면 유효노동 1단위당 자본량 $ k_{t+1} $ 에 관한 아래 식을 얻습니다.

$ k_{t+1}=K_{t+1}/(A_{t+1}L_{t+1})=s(r_{t+1})L_t A_t w_t /(A_{t+1}L_{t+1}) $

기술수준과 노동은 각각 $ g , n $ 의 율로 증가하므로

$ k_{t+1}=s(r_{t+1})L_t A_t w_t /(A_{t+1}L_{t+1}) = s(r_{t+1})w_t / [(1+n)(1+g)] $ 의 자본동학식을 얻게 됩니다.

 

그러나 효용함수, 생산함수에 관해 구체적인 가정을 하지 않고서는

위의 자본동학식으로부터 어떤 결론을 이끌어내기는 어렵습니다.

따라서 Diamond 모형의 가정을 충족하는 생산함수인 콥-더글러스 함수를 가정하는 한편

효용함수에 포함되는 상대위험회피계수 $ \theta $ 가 1인 경우를 생각해보겠습니다.
(이 경우 효용함수는 로그효용함수가 됩니다.)

 

콥-더글러스 생산함수에서 실질임금은 $ w_t = f(k_t)-k_t f'(k_t)=(1-\alpha)k_t^{\alpha} $ 의 식을 만족합니다.

그리고 저축률식 $ s(r)=\frac{(1+r)^{(1-\theta)/\theta}}{(1+\rho)^{1/\theta}+(1+r)^{(1-\theta)/\theta}} $ 에서 $ (1+r)^{(1-\theta)/\theta} $ 항은 $ \theta = 1 $ 일 때 1이 됩니다.

따라서 저축률이 $ \frac{1}{2+\rho} $ 로 단순화됩니다.

이들 값을 자본동학식에 대입하면 $ k_{t+1}= (1-\alpha)k_t^{\alpha} / [(1+n)(1+g)(2+\rho)] $ 의 식을 얻게 됩니다.

위 자본동학식 분자에 있는 $ k_t^{\alpha} $ 항은 $ k_t $ 가 증가할수록 점차 증가율이 감소합니다.

따라서 이 경제는 장기적으로 유효노동 1단위당 자본량이 일정해지는 균제상태에 도달할 것을 예측할 수 있습니다.

실제로 자본동학식에 균제상태조건인 $ k_{t+1}=k_t=k^* $ 를 대입하면 $ k^* = [\frac{1-\alpha}{(1+n)(1+g)(2+\rho)}]^{1/(1-\alpha)} $ 의 균제상태 자본량을 얻습니다.

따라서 콥-더글러스 생산함수를 가정한 Diamond 모형의 균제상태에서는

솔로우 모형에서와 같이 유효노동 1단위당 자본량이 일정하고, 기술진보가 유일한 경제성장의 원동력이 됩니다.

 

Diamond 모형에서도 경제주체들의 후생을 평가해볼 수 있습니다.

우선 Diamond 모형에서의 파레토효율해를 구해보겠습니다.

이 모형에서 사회계획자가 존재한다면, 각 기의 생산물을 극대화하는 자본량을 선택할 것입니다.

이 자본량은 다름아닌 황금률 자본량이고, 콥-더글러스 생산함수 하에서는 $ f'(k_{gr})=n+g =\alpha k_{gr}^{\alpha-1} $ 를 만족하는 자본량입니다.

그런데 위에서 구한 균제상태 자본량은 $ \alpha k^{*\alpha-1}= \frac{\alpha(1+n)(1+g)(2+\rho)}{1-\alpha} $ 를 만족합니다.

그러므로 경우에 따라서는 균제상태 자본량이 황금률 자본량을 상회하거나 하회할 수도 있습니다.

만약 균제상태 자본량이 황금률 자본량을 상회한다고 해보겠습니다.

그러면 사회계획자는 금기의 저축을 줄이고 소비를 늘리는 한편

향후 경제가 황금률 자본량을 유지하도록 해서 모든 기의 총소비를 늘릴 수 있게 됩니다.

 

결론적으로 Diamond 모형에서는 효용극대화해가 파레토효율적이지 않게 됩니다.

달리 말하면 이 모형에서는 후생경제학 제1정리가 적용되지 않습니다.

그 이유는 후생경제학 제1정리가 시장의 완비성을 전제하고 있음에도 불구하고

Diamond 모형에서는 세대 간 거래를 허용하지 않기 때문입니다.

이 때문에 모든 개인이 노년기의 소비를 본인의 저축으로만 충당해야 합니다.

이렇게 경제의 기간 간 구조로 인해서 발생하는 비효율성을 동태적 비효율성(dynamic inefficiency)이라고 합니다.

 

한편으로는, 세대 간 거래가 가능해진다면 모든 개인의 후생을 개선할 수 있게 됩니다.

세대 간 거래를 가능하게 하는 한 가지 방법은 이 모형에 화폐를 도입하는 것입니다.

예컨대, 청년기의 개인이 같은 기를 사는 노년기 개인들을 부양하고 그 대가를 화폐로 받아 저축할 수 있습니다.

그리고 이 청년기의 개인이 노년기에 접어들었을 때, 화폐를 지불하고 부양을 받으면

세대 간 거래를 실현할 수 있고 사회후생을 제고할 수 있게 됩니다.

 

이 글에서는 Diamond 모형의 여러 시사점들에 대해 써보았습니다.

지금까지 다루었던 성장모형들은 모두 성장 동인이 외생변수로만 주어져 있었습니다.

다음 글에서는 성장의 원동력을 내생화한 모형들에 대해서 써보겠습니다.