수학 (55) 썸네일형 리스트형 수리통계학 (20) - 독립확률변수의 성질 지난 글에서는 확률변수의 독립을 정의하고, 이와 관련된 성질 몇 가지를 다루었습니다. 이번 글에서는 독립인 확률변수가 만족하는 다른 성질들에 대해 써보겠습니다. 우선 확률변수 $ X_1, X_2 $ 가 독립이고, 임의의 함수 $ u,v $ 에 대해 $ E[u(X_1)],E[v(X_2)] 수리통계학 (19) - 독립확률변수 지난 글에서는 조건부 통계량을 활용하는 사례에 대해 써보았습니다. 이번 글에서는 확률변수의 독립에 대해 써보려고 합니다. 예전에 쓴 글에서 독립사건을 다루면서 pairwise independence, mutually independence의 개념을 소개한 바 있습니다. 이번 글에서는 확률변수의 독립을 정의해보겠습니다. 일단 연속확률변수 $ X_1, X_2 $ 를 생각해보겠습니다. 이때, 두 확률변수가 가질 수 있는 모든 값의 쌍 $ (x_1,x_2) $ 에 대해서 $ f(x_1,x_2)=f_1(x_1)f_2(x_2) $ 가 성립하면 이 두 확률변수 $ X_1,X_2 $ 는 독립이라고 표현합니다. 만약 이들이 독립이 아니라면, 이들은 종속관계를 가진다고 합니다. 위 정의는 $ X_1,X_2 $ 가 이산확률.. 수리통계학 (18) - 조건부 통계량의 활용사례 지난 글에서는 조건부 통계량에 관한 여러 식들을 소개했습니다. 이번 글에서는 조건부 통계량이 어떻게 활용될 수 있는지에 대해 써보려고 합니다. 이번 글에서부터는 각종 확률분포함수를 표기할 때 아래 첨자를 간략화해서 표현하려고 합니다. 사실 혼동의 여지만 없다면 아래첨자는 생략되기도 합니다.($ f_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = f(x_1,x_2) $ ) 혹은 아래첨자에 변수 대신 숫자를 써서 간략하게 표현할 수도 있습니다.($ f_{X_1,X_2}(x_1,x_2) = f_{12}(x_1,x_2) $ ) 조건부 확률분포나 주변확률분포함수도 아래와 같이 단순화할 수 있습니다. $ f_{X_2|X_1}(x_2|x_1)=f_{2|1}(x_2|x_1), f_{X_1}(x_1)=f_1 (x_1) $ 이제 조.. 수리통계학 (17) - 조건부 통계량에 관한 식들 지난 글에서는 조건부 확률분포의 정의에 대해 써보았습니다. 이번 글에서는 여러 조건부 통계량에 관한 식들을 다뤄보겠습니다. 일단 조건부 통계량에 관한 식을 다루기 전에 공분산과 상관계수부터 정의해보겠습니다. 두 확률변수 $ X,Y $ 가 유한한 분산값 $ \sigma_X ^2 , \sigma_Y ^2 $ 을 가진다고 해보겠습니다. 이들 분산값이 유한하다면, 더 낮은 차수의 적률에 대응하는 평균값도 유한합니다. 이 평균값들을 $ \mu_X , \mu_Y $ 라고 해보겠습니다. 위 조건들이 모두 충족된다면, 평균 $ E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] $ 가 유한한 값으로 잘 정의됩니다. (이 평균이 유한하다는 것은 코시-슈바르츠 부등식으로 증명할 수 있습니다.) 이 평균값을 $ X,Y $ 의 공분산(c.. 수리통계학 (16) - 조건부 확률분포 지난 글에서는 확률벡터의 변환에 대해서 써보았습니다. 이번 글에서는 다변량 분포에서 종종 쓰이는 조건부 확률분포에 대해 써보려고 합니다. 앞선 글에서 조건부 확률은 어떤 사건을 새로운 표본공간으로 간주해서 계산한 확률로 정의했습니다. 이는 확률변수에서도 똑같이 적용될 수 있는 정의입니다. 우선 이산확률변수 $ X_1,X_2 $ 를 생각하고 이들에 관한 조건부 확률을 구해보겠습니다. $ X_1,X_2 $ 가 제각기 다른 값을 갖는 확률변수라면 $ X_1 $ 이 $ X_1 = x_1 $ 을 충족할 때 $ X_2 $ 의 확률분포가 어떻게 될 것인지 생각해볼 수 있습니다. 조건부 확률의 정의를 이용하면, 이 확률분포가 $ P(X_2=x_2 | X_1=x_1) = \frac{P(X_1=x_1,X_2=x_2)}{P.. 이전 1 ··· 5 6 7 8 9 10 11 다음