5. 연구개발모형 (1)

이번 글에서는 내생적 성장모형의 하나인 연구개발모형에 대해서 써보겠습니다.

지금까지 다루었던 모형들은 성장에 관계된 변수들을 외생변수로 취급했습니다.

따라서 이들 모형을 개선하기 위해서, 성장의 동인을 모형 내부에서 규명하려는 노력이 있었습니다.

이 노력의 결과로 여러 내생적 성장이론이 등장했습니다.

 

성장의 동인을 내생화하는 한 가지 방법은 모형에 지식의 개념을 도입하는 것입니다.

연구개발모형은 경제자원의 일부분이 지식생산에 투입된다고 가정합니다.

그리고 이렇게 생산된 지식이 노동생산성에 영향을 미친다고 하면

시간이 흐를수록 노동생산성이 증가하면서 소득도 증가하게 됩니다.

구체적으로 연구개발모형은 아래와 같은 가정들을 채택하고 있습니다.

 

a. 일반화된 콥-더글러스 생산함수로 대표되는 생산기술(i.e. 지수의 합이 반드시 1일 필요가 없음)
b. 자본, 노동의 생산요소 가운데 $ a_i (i=K,L) $ 의 비율만큼이 투입되는 지식생산부문
c. 생산물 및 지식생산과정 모두에 활용되는 지식스톡 $ A(t) $
d. 외생적으로 일정하게 주어지는 저축률과 인구증가율

 

실제로 연구개발모형의 생산함수식은 아래와 같이 주어집니다.

$ Y(t)=[(1-a_K)K(t)]^\alpha [A(t)(1-a_L)L(t)]^{1-\alpha} (0<\alpha<1) $

이 모형에서도 자본과 유효노동의 소득분배율은 시간이 흘러도 일정하게 유지됩니다.

또한 연구부문에 투입되는 비율을 제외한 양만큼의 요소가 생산과정에 투입되는 것을 볼 수 있습니다.

위 식에서 알수 있듯이 지식스톡 $ A(t) $ 는 노동 1단위당 생산성을 높이게 됩니다.

 

연구개발부문이라고도 하는 지식생산부문은 아래와 같은 식에 따라 지식스톡을 증가시킵니다.

$ \dot{A(t)}=B[a_K K(t)]^\beta [a_L L(t)]^\gamma A(t)^\theta (B>0,\beta,\gamma \geq 0) $

생산함수식과는 달리, 지식생산과정에서는 지수의 합이 반드시 1일 것을 요구하지 않습니다.

흥미로운 점은 지식스톡의 양이 지식생산속도와 정의 관계를 가진다는 것입니다.

이 관계는 $ \theta $ 의 크기에 의존하게 됩니다.

$ \theta $ 의 크기를 결정하는 요인으로 다음과 같은 두 가지를 생각해 볼 수 있습니다.

 

첫째, 기존 지식스톡이 클수록 이들을 활용해서 새로운 지식을 발견할 여지가 커집니다.(standing on shoulders effect)

둘째, 지식스톡이 크면 새로운 지식의 발견이 어려워지고, 중복된 지식이 생산될 여지가 커집니다.(duplication effect)

실제 $ \theta $ 의 크기는 이 두 가지 요인이 상호작용해서 결정된다고 생각할 수 있습니다.

 

또한 연구개발모형에서 개별 경제주체는 $ s $ 의 일정한 저축률로 물적자본을 축적해 나갑니다.( $ \dot{K(t)}=sY(t) $ )

인구는 $ n $ 의 비율로 증가합니다.( $ \dot{L(t)}=nL(t) $ )

 

연구개발모형은 앞선 글들에서 다루었던 모형들보다 약간 더 복잡합니다.

모형의 중요한 함의를 해치지 않으면서 계산을 단순화할 수 있는 방법 중 하나는 물적자본을 고려하지 않는 것입니다.

물적자본을 고려하지 않을 경우, 생산함수식은 $ Y(t)=A(t)(1-a_L)L(t) $ 로 단순화됩니다.

그리고 지식생산함수식도 $ \dot{A(t)}=B[a_L L(t)]^\gamma A(t)^\theta $ 로 다시 쓸 수 있습니다.

이 경우에는 생산량 $ Y(t) $ 의 증가율이 지식스톡 $ A(t) $ 의 증가율의 함수로 주어집니다.

 

한편, 지식생산함수식을 정리하면 $ \frac{\dot{A(t)}}{A(t)}=B[a_L L(t)]^\gamma A(t)^{\theta-1} $ 가 성립함을 알 수 있습니다.

위 식의 좌변은 다름아닌 지식스톡의 증가율이 됩니다. 이를 $ g_A (t) (=\frac{\dot{A(t)}}{A(t)}) $ 로 쓰겠습니다.

그리고 위의 정리된 지식생산함수식을 로그 미분하면 아래의 식을 얻게 됩니다.

$ \frac{\dot{g_A (t)}}{g_A (t)}=\gamma n + (\theta - 1)g_A (t) $

양변에 $ g_A (t) $ 를 곱하면 $ \dot{g_A (t)}=\gamma n g_A (t) + (\theta - 1)[g_A (t)]^2 $ 임을 알 수 있습니다.

따라서 지식스톡 증가율 $ g_A $ 의 동학은 다름 아닌 $ g_A $ 만의 함수로 주어집니다.

구체적으로 $ g_A $ 가 변해가는 과정은 $ \theta $ 의 값에 따라 달라집니다.

다음 글에서는 $ \theta $ 값의 범위에 따른 $ g_A $ 의 변화 과정에 대해서 써보겠습니다.