5. 연구개발모형 (2)

지난 글에서는 물적자본이 없는 연구개발모형에서 지식스톡 증가율에 관한 아래 식을 유도했습니다.

$ \dot{g_A(t)}=\gamma n g_A (t) + (\theta-1)[g_A (t)]^2 $

물적자본이 생략된 연구개발모형에서는 노동과 지식 투입만으로 생산이 이루어집니다.

이 경우 생산함수식은 $ Y(t)=A(t)(1-a_L)L(t) $ 로 주어지고, 소득증가율은 지식스톡 $ A(t) $ 의 증가율에 의존하게 됩니다.

그런데 연구개발모형에서 지식스톡은 경제주체가 직접 생산하게 되어 있습니다.

그리고 $ \theta $ 라는 변수는 다름 아닌 이 지식생산과정의 효율성을 의미합니다.

이 모형에서 지식스톡 증가율 $ g_A $ 는 $ \theta $ 의 값에 따라 다른 변화 양상을 보입니다.

따라서 $ \theta $ 의 값에 따라 경우의 수를 나누어서 생각해보겠습니다.

 

(i) $ \theta < 1 $

$ g_A $ 에 관한 식은 아래와 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$ \dot{g_A(t)}=g_A (t)[\gamma n  + (\theta-1)g_A (t)] $

$ \theta < 1 $ 일 경우, $ (\theta-1)g_A (t) < 0 $ 가 성립합니다.

이 경우 지식스톡규모의 증가는 지식스톡 증가율 감소로 이어집니다.

한편 $ g_A $ 에 관한 식을 정리하면 $ g_A (t)<\frac{\gamma n}{1-\theta} \Rightarrow \dot{g_A(t)} > 0 $ 임을 알 수 있습니다.

반대로 $ g_A (t)>\frac{\gamma n}{1-\theta} \Rightarrow \dot{g_A(t)} < 0 $ 역시 성립합니다.

결론적으로, $ g_A(t) $ 는 시간이 지남에 따라서 $ \frac{\gamma n}{1-\theta} $ 로 수렴하는 것을 볼 수 있습니다.

 

흥미로운 점은 $ g_A $ 의 장기수렴값 $ \frac{\gamma n}{1-\theta} $ 는 연구개발에 투입되는 노동비율 $ a_L $ 과 무관하다는 점입니다.

실제로 $ a_L $ 이 증가하면 $ g_A (t) = B[a_L L(t)] ^{\gamma} A(t)^{\theta - 1} $ 식에 따라

지식스톡 증가율이 일시적으로 증가합니다. 하지만 장기에서의 $ g_A $ 값에는 변화가 없습니다.

이를 두고 $ a_L $ 의 변화는 $ A(t) $ 의 경로에 대해 수준효과(level effect)만 있고 성장효과(growth effect)는 없다고 표현합니다.

 

(ii) $ \theta \geq 1 $

사실 $ \theta $ 는 $ \dot{A(t)} =B[a_L L(t)]^\gamma A(t)^\theta $ 식에서 볼 수 있듯이

지식스톡규모에 따른 보수를 나타내는 지표입니다.

가령 $ \theta < 1 $ 라면, 지식생산과정은 규모수익이 체감하는 과정이라고 이해할 수 있습니다.

따라서 지식스톡이 증가할수록 증가율은 점차 낮아지고, 결국 증가율이 일정한 값으로 수렴합니다.

 

그러나 $ \theta \geq 1 $ 의 경우에는 얘기가 달라집니다.

이 경우에는 지식스톡이 증가할수록 이의 증가율이 더 높아지는 가속 성장을 할 것으로 예측할 수 있습니다.

실제로 $ \theta = 1 $ 의 경우에는 $ \dot{g_A(t)}=\gamma n g_A (t) $ 이 성립하게 됩니다.

따라서 인구증가가 있는 경제라면($ n>0 $) $ g_A (t) $ 가 $ \gamma n $ 의 율로 계속 증가하게 됩니다.

달리 말하면, 지식스톡이 끊임없이 증가할 뿐만 아니라 증가율도 같이 커지는 가속 성장을 하게 된다는 의미입니다.

만약 인구증가가 없다면($ n=0 $) 지식스톡은 $ B[a_L L(t)]^\gamma=B[a_L L(0)]^\gamma $ 의 일정률로 증가하게 됩니다.

 

한편, 이 모형에서 지식스톡생산에 투입되는 노동의 비율 $ a_L $ 은 저축률에 상응하는 것으로 이해할 수 있습니다.

왜냐하면 $ a_L $ 은 미래기의 더 많은 생산을 위해 (현재기의 생산을 포기하면서)

투입되는 자원의 비율로 해석할 수 있기 때문입니다.

$ \theta \geq 1 $ 의 경우, $ a_L $ 의 변화는 성장경로를 완전히 바꾸어놓게 됩니다.

우선 $ a_L $ 증가는 $ g_A (t)=B[a_L L(t)]^{\gamma}A(t)^{\theta -1} $ 식에서 볼 수 있듯이

$ g_A(t) $ 를 즉각적으로 높이게 됩니다. 그리고 $ g_A (t) $ 의 증가는 반드시 $ \dot{g_A(t)} $ 을 상승시킵니다.

$ \dot{g_A(t)} $ 의 증가는 또다시 $ g_A (t) $ 를  상승시키는 결과를 낳습니다.

따라서 지식생산과정의 규모수익이 체감하지만 않는다면

$ a_L $ 의 변화는 수준효과 뿐만 아니라 성장효과까지 수반하게 됩니다.

 

$ \theta > 1 $ 일 경우에는 $ g_A(t) $ 의 증가가 $ \dot{g_A(t)} $ 을 상승시키는 정도가 더욱 커지게 됩니다.

따라서 지식스톡 증가속도가 가속되는 정도도 더 커지는 한편,

$ a_L $ 변화로 인한 성장경로의 변화도 더욱 극적으로 나타납니다.

 

이번 글에서는 물적자본을 생략한 연구개발모형에서의 성장경로에 대해서 써보았습니다.

다음 글에서는 물적자본까지 고려한 연구개발모형의 함의에 대해서 써보겠습니다.